Pour les matheux

Bon alors voila ma démonstration, peut etre pas des plus rigoureuses mais bon c'est deja ca:
tout d'abord je rééecris le probleme en termes mathématiques, en gros il ca fait:
on veut N=24k avec N et k entiers naturels,
soit n un nombre premier
montrer que pour tout n premier supérieur ou égal a 5 on a N=n²-1
on voit deja la 3e identité remarquable ici: a²-b²=(a+b)(a-b)

donc N=(n+1)(n-1) or n est un nombre premier donc impair; par conséquent (n+1) et (n-1) sont pairs
====> 2 entiers pairs consécutifs sont divisibles par 8!

petite démonstration: (n+1) et (n-1) étant pairs, on peut les ecrire 2*m et 2*p
comme ils sont consécutifs, si m est impair, p est pair et vice versa donc 2*p peut s'ecrire 2*2*p'
d'ou N=(n+1)(n-1)=2*m*2*2*p=8mp
donc N est divisible par 8

fin de la premiere etape.

Deuxieme etape, un peu plus delicate: la demonstration de la divisibilité par 3:
Je suis parti du principe que le produit de 3 entiers consécutifs est divisible par 3 (car en prenant 3 nombres cote a cote on tombe forcément sur un multiple de 3)

on va ecrire ca comme ca:
soit n un nombre premier, n(n+1)(n-1)=3k' avec k un entier naturel

or n(n+1)(n-1)=(n²+n)(n-1)=n³-n²+n²-n=n³-n

n³-n=3k' donc, or pour retomber sur N=n²-n il suffit de diviser ce que l'on a trouvé tout a l heure par n

(n³-n)/n=3k'/n

il reste a prouver que k'/n est un entier et le tour est joué:

on sait que n(n+1)(n-1) est un multiple de 3 or n est premier donc non divisible par 3:
donc soit (n+1) soit (n-1) est divisible par 3

ce qui veut dire que k'=n(n+1) ou n(n-1)
donc c'est un multiple de n donc k'/n est un entier

N est divisible par 3 par conséquent, et comme il l'est aussi par 8 alors N est divisible par 24

Soit x un nombre premier, on veut démontrer que x² - 1 est divisible par 24
On connait tous l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² , sinon, il va falloir revoir tout çà.
ici on remplace a par x et b par 1, on a donc: (x + 1)(x - 1) = x² - 1
Il suffit donc de démontrer que quand x est premier, (x + 1)(x - 1) est divisible par 24
- Comme x est premier, il n'est pas divisible par 2, (x - 1) et (x + 1) sont donc deux nombres divisible par 2 CONSECUTIFS, donc l'un des deux est aussi divisible par 4. Le produit des deux est donc divisible par 8
- Comme (x - 1), x et (x + 1) sont trois nombres consécutifs, il y en a forcément un des trois divisible par 3, ce n'est pas x puisqu'il est premier, c'est donc l'un des deux autres. Le produit des deux est donc aussi divisible par 3
- Si (x - 1)(x + 1) est divisible par 3 et par 8, il est divisible par 24 (vrai parce que 8 n'est pas divisible par 3).

CQFD

Je n'ai fait que dire la même chose que toi en un peu plus court.